Трансцендентные функции примеры. Трансцендентная функция

Классификация элементарных функций.

Для чего нужно классифицировать элементарные функции?

Ответ очень прост: каждому классу функций соответствует определенный набор свойств. Некоторые функции бесконечное число раз дифференцируемы на каком-либо промежутке, некоторые непрерывны, другие ортогональны с весом и т.д. и т.п.

Согласитесь, когда все книги разложены по полочкам по определенным тематикам, достаточно просто найти нужную.

Элементарные функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

  • Трансцендентные
  • Алгебраические
    • Иррациональные
    • Рациональные
      • Целые рациональные
      • Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

Читать еще:  У мужа ко мне постоянные претензии. Образ жены и основные претензии

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, — целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, — трансцендентная функция.

Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.

К примеру, — не иррациональная функция, а рациональная, так как .

— не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .

63. Основные трансцендентные функции

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

См. Представление функций по формуле Тейлора.

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Также справедливы равенства:

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т. д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом Называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

Гиперболические функции Sh Z И Ch Z имеют период 2pi, а функции Th Z и Cth Z – период pi.

Пример. Найти sin(1+2i).

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Читать еще:  Упитанное телосложение. Три типа телосложения человека

Если W = U + Iv, то и Arg Ew = = V.

Тогда Eu = .

Итого:

Для комплексного числа Z = A + Ib

Определение. Выражение называется Главным значением логарифма.

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

Трансцендентная функция

Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.

Так, например, ; и имеют существенно особую точку (где обозначает вершину сферы Римана — бесконечно удалённую точку комплексной плоскости), — точки ветвления бесконечного порядка при и .

Основания общей теории трансцендентных функций даёт теория аналитических функций. Специальные трансцендентные функции изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т. д.).

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Трансцендентная функция» в других словарях:

ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической функцией. Напр., показательная функция, тригонометрические функции … Большой Энциклопедический словарь

трансцендентная функция — ▲ аналитическая функция ↑ не, алгебраическая функция трансцендентная функция аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. показательная функция, экспонента. логарифмическая функция. ▼ тригонометрическая функция спирали: ↑ центр (фигуры)… … Идеографический словарь русского языка

трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической функцией. Например, показательная функция, тригонометрическая функции. * * * ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ, аналитическая функция, не являющаяся алгебраической функцией. Напр … Энциклопедический словарь

ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — (Transcendent function; Transzendente Funktion) психическая функция, возникающая в результате напряжения между сознанием и бессознательным и поддерживающая их объединение; функция связи между противоположоностями.«Если же имеется налицо полное… … Словарь по аналитической психологии

ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez,… … Математическая энциклопедия

Читать еще:  Сильные переживания при переезде от родителей в отдельную квартиру. Переезд от родителей, терапия родителей и знакомых - Это психоз

ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — аналитич. функция, не являющаяся алгебр. функцией. напр., показательная функция, тригонометрич. функции … Естествознание. Энциклопедический словарь

функция (математическая) — ▲ функция (от чего) ↑ математический функционал. производная. неопределенный интеграл (матем). дифференцирование. интегрирование (матем). строгий (# зависимость). теория функций. функциональный анализ. бароклинность. баротропность. ↓ уравнение,… … Идеографический словарь русского языка

ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ — аналитической функции f(z) точка ветвления, не являющаяся алгебраической точкой ветвления. Иначе говоря, это либо точка ветвления конечного порядка k>0, в к рой, однако, не существует ни конечного, ни бесконечного предела либо логарифмическая… … Математическая энциклопедия

тригонометрическая функция — ▲ трансцендентная функция ↑ угол синус. косинус. тангенс. котангенс. секанс. косеканс. арксинус. арккосинус. синусоида. тангенсоида … Идеографический словарь русского языка

Алгебраическая функция — Алгебраическая функция элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения. Формальное определение: Функция называется алгебраической в точке , если… … Википедия

Источники:

http://www.cleverstudents.ru/functions/elementary_functions_classification.html
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/kurs-vysshei-matematiki-3/63-osnovnye-transtcendentnye-funktcii
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/102616

Ссылка на основную публикацию